I.SAYMANIN TEMEL KURALLARI

A)EŞLEME YOLU İLE SAYMA

Bir kümenin eleman sayısını;kümenin elemanları ile sayma sayıları kümesinin elemanları arasında birebir eşlem yaparak bulmaya denir.

B)TOPLAMA YOLU İLE SAYMA

A ve B eleman sayıları sonlu olan iki ayrık küme olsun.
S(A)= m ve s(B) = n  s(AB)= s(A) +s (B) dir.

Buna göre, ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m+n yolla yapılabilir.

Örnek :

Farklı özellikte, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı kaç yolla seçilebilir?

Çözüm :

Matematik kitapları m1, m2,m3 ve kimya kitapları k1,k2,k3,k4,k5 olsun.Bu durumda,matematik kitapları kümesi A=m1,m2,m3 ve kimya kitapları kümesi B=k1,k2,k3,k4,k5 tir.
1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme ise AB=m1,m2,m3, k1,k2,k3,k4,k5 tir.

Kolayca görüleceği gibi 1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme 3+5=8 elemanlıdır.Yani seçme 8 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı 3+5=8 yolla seçilebilir.

Örnek :

Bir lisenin birinci sınıfında 100,ikinci sınıfında 200 ve üçüncü sınıfında 300 öğrenci vardır.Bu lisede toplam öğrenci sayısı nedir?

Çözüm :

L  L= , L  L = dir.
S(L L L  sL +sL+ sL
=100+200+300=600 olur.







3)ÇARPMA YOLU İLE SAYMA

n tane elemandan oluşan
(a1,a2,a3,.....,an) ifadesine sıralı n li denir.

Benzer şekilde (a,a)... sıralı ikili
(a1,a2,a3)... sıralı üçlü
...............................................
olarak adlandırılır.
A ve B sonlu iki küme olsun.
S(A)= m ve s(B)= n  s(Ax B) = s(A). S(B) dir. AxB kümesi birinci bileşeni A dan,ikinci bileşeni B den alınan ikililerden oluşmaktadır.

O halde, ilk işlem m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek :
Farklı özellikte 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı kaç yolla seçilebilir?
Çözüm:
Matematik kitapları m1,m2 ve f1,f2,f3, olsun.Bu durumda matematik kitaplarının kümesi A=m1,m2 ve fizik kitaplarının kümesi B=f1,f2,f3 tür.
1 matematik ve 1 fizik kitabından oluşan matematik ve fizik kitabı ikilisinin seçeceği küme ise ;
A x B = (m1,f1) , m1,f2  m1,f3  m2,f1  m2,f2 , (m2,f3) tür.

Kolayca görüleceği gibi Ax B kümesi 2.3=6 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı 2.3=6 yolla seçilebilir.

Örnek:
Bir spor salonunda 20 sıra ve her sırada 30 koltuk vardır.Bu spor salonu kaç kişiliktir?

Çözüm:
Her sırada 30 koltuk olduğundan 20 sırada toplam 20x30=600 kişi vardır.

SIRALI “n” LİLER

N ={1,2,3,4,.........} olmak üzere
a1,a2,a3,.......an ile gösterilen n tane nesneden oluşturulan (a1,a2,a3,......,an) gösterimine sıralı n li denir.

(a1,a2)...........sıralı ikili
(a1,a2,a3).........sıralı üçlü
(a1,a2,a3,a4)........sıralı dörtlü
.
.
(a1,a2,a3,................,an)........ sıralı “n” lidir.






Örnek:

A={1,2},A={1,2,3} kümeleri veriliyor.a A , a  A olmak üzere,

a) (a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı ikililerin sayısını bulunuz.
b) (a,a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı üçlülerin sayısını bulunuz.


Çözüm:
a) (a,a) E AxA olmak üzere

s(A)=2 ise s(AxA) = s(A) x s(A)
s(A)=3 =2 x3
=6 tanedir.
b)(a,a,a) E AxAxA olmak üzere

s(A) = 2
s(A) = 3  s(A,A,A) = s(A) x s(A) x s(A)
s(A) = 4 =2 x 3 x 4
=24 tenedir.
SAYMANIN TEMEL İLKESİ

Ard arda yapılabilen r tane işten birindi iş n1 değişik şekilde,ikinci iş n2 değişik şekilde,üçüncü iş n3 değişik şekilde,......,r inc işe ise nr değişik şekilde yapılabiliyorsa bu işlerin bileşiminden oluşan iş;n1,n2,n3,...,nr değişik şekilde yapılabilir.

Örnek :

A kenti ile B kenti arasında 2 değişik yol,B ile C kenti arasında ise 5 değişik yol vardır.A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse B den geçmek koşulu ile;

a) Kaç değişik yol ile A şehrinden C şehrine gidebilir?

b) A şehrinden C şehrine kaç değişik yol ile gidip dönebilir?

c) Kullandığı yolu bir kez daha kullanmamak koşulu ile C şehrine kaç değişik yoldan gidip gelebilir?





Çözüm :

a) Bir kimse A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini B den C ye gitmek için de 5 farklı yoldan birini kullanmak zorundadır.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye, B ye uğrayarak 2.5= 10 değişik biçimde gidebilir.


b) A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini, B şehrinden C şehrine gitmek içinde 5 farklı yoldan birini seçebilir.C şehrinden B şehrine geri dönerken 5 farklı yoldan biri, b den a ya dönerken de 2 farklı yoldan birini seçebileceğinden A dan C ye 2.5.5.2 = 100 değişik biçimde gidip ve gelebilir.

c) Adan C ye 2.5 = 10 farklı şekilde gidebilir C şehrinden B şehrine geri dönerken gidişte yollardan biri kullanıldığından geriye kalan 5- 1 =4 farklı yolun biri ve B den A ya dönerken de gidişte yollardan biri kullanıldığından geri kalan (2-1) =1 farklı yoldan biri kullanılır.Öyleyse C den A ya dönüş 4.1 = 4 değişik biçimde olur.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye gidiş ve dönüş 2.5.4.1=40 değişik biçimde olur.


Örnek :

4 gömleği ve 5 eteği olan bir kimse kaç farklı biçimde giyinebilir?

Çözüm :

Gömleklerin kümesi G=g1,g2,g3,g4 ve eteklerin kümesi E=e1,e2,e3,e4,e5 olsun.Bu kimsenin bir eleman G kümesinden ve bir elemanda E kümesinden alarak giyinmesi gerekir.Buna göre;

S(GxE) = s(G) . s(E)
= 4 . 5
= 20 farklı biçimde giyinebilir.


Örnek :

Bir öğrencinin sınavı geçebilmesi için önce ilk 6 sorudan birini daha sonra başka 3 sorudan birini cevaplaması gerekmektedir.Bu öğrenci cevaplayacağı soruların kaç değişik şekilde seçebilir?

Çözüm :

Öğrenci cevaplaması gereken toplam 2 sorudan birincisine ilk 6 soru arasından 6 şekilde ikincisini ise son 3 soru arasından, 3 şekilde seçebileceğinden cevaplayacağı soruları 6 . 3 = 18 şekilde seçebilir.


FAKTÖRİYEL

1 den n e kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına “n” faktöriyel denilir ve 1x 2x 3...x n = n şeklinde gösterilir.Özel olarak 0! = 1 kabul edilir.

Not :

1) Her büyük değerli faktöriyel,içerisinde faktöriyeli çarpanı olarak bulunduracak şekilde yazılabilir.
2) a , b  Z ve ab için a . b!  b. a!
3) a , b Z için (a. b)!  a! . b! dir.

Örnek :


ifadesini kısaltınız.


Çözüm :


Örnek :

n. (n-2)! = n! ise n değeri nedir ?

Çözüm :

n(2-2)! = n!
n(n-2)! = n(n-1).(n-2)!
1=n-1 n=2 dir.

Örnek :


Çözüm :

(4n+3)! (4.n +1) = (4n +1)(4n+2)(4n)
(4n+2)! (4n)! (4n +1) (4n+2)! (4n)!(4n+1)

= 4n + 3



PERMÜTASYON

n n N olmak üzere n elemanlı bir kümenin,birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerden her birine bir kümenin r li permütasyonu denir.

N elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı;

P(n,r) = n! dir. (r  n)
(n –r)!
Not :

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.

Örnek :
4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?

Çözüm :

P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.

Örnek :

8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?

Çözüm :


=336 biçimde.

Örnek :

5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?

Çözüm :

5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.

TEKRARLI PERMÜTASYON


dir.

n elemanlı bir kümenin n tanesi bir türden, n tanesi başka türden, ....,n tanesi de r ninci türden ise bu n elemanın n li permütasyonlarının sayısı ;

Not :

Toplam n tane nesnenin (n1,n2, ...., nn) tanesi kendi arasında aynı olduğunda bu aynı elemanların belli durumlarda kendi aralarında yer değiştirdiklerinde yeni bir sıralama oluşmamaktadır.Bunların sayısının elenmesi gerekmektedir.Bu da n!i ; ( n1! . n2!. ...nn!)
ile bölerek yapılır.

Örnek :

“ MARMARA” kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı yada anlamsız;
a) 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?
b) Bunların kaç tanesi M ile başlar M ile biter?
c) Bunların kaç tanesi A ile başlar A ile biter?
d) Bunların kaç tanesinde M ‘ler yanyanadır?
e) Bunların kaç tanesinde A’ların üçü de yanyanadır?

Çözüm :

a) “ MARMARA” kelimesindeki 7 harfin 2 tanesi kendi arasında aynı M ler, 2 tanesi kendi arasında aynı R ler , 3 tanesi kendi arasında A lar.

Buna göre P(7,7) = 7! = 210 farklı kelime yazılabilir.
3! .2! .2!

b) M ile başlayıp M ile biten 7 harfi kelime sayısı

M ARARA M
  
sbt kalan 5 harf sbt

P(5,5) = 5! = 120 = 30
2! 2! 4
c) A ile başlayıp A ile biten 7 harfli kelime sayısı;

A MRAMR A
  
sbt kalan 5 harf sbt

d) M lerin ikisinde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı;

MM A , R , R , A , A
     
1. 2. 3. 4. 5. 6.

P(6,6) = 6! = 60 tanedir.
2! . 3!
e) A ların üçününde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı

A , A , A , M , M , R , R
    
Örnek :

4344004 sayısındaki rakamlarla 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm :

Yazılacak sayının soldan ilk rakamı 0 olamaz.Bunun için soldan ilk rakam diğer rakamlar arasından seçilir.
Önce tekrar durumunu göz ardı edelim.Daha sonra bulunan sonucu (4, 4 kez ve 0 , 2 kez tekrarlandığı için) 4! . 2! ‘e bölelim.

5 6 5 4 3 2 1  5 . 6!

5 . 6! = 5. 6 . 5 . 4! = 5 . 3 . 5 = 75 farklı sayı yazılabilir.
4! . 2! 4! . 2 . 1

Örnek :

5500222 sayısındaki rakamların yerlerini değiştirerek birbirinden farklı 7 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Çözüm :

Verilen sayıda 7 rakam olduğundan n=7 dir.Bu sayıda 2 tane 5, iki tane 0 , 3 tane 2 rakamları tekrar edildiğinden ; n=2 , n=2 , n=3 olur.

n!  7! 7 . 6 . 5 . 4 . 3! 210

n ! n! n! 2!. 3! . 2! 2 . 2 . 3!

210. 2 = 60 tanesi 0 ile başlar 7 basamaklı olmaz.
7
210 – 60 = 150 tane birbirinden farlı 7 basamaklı sayı yazılabilir.
DAİRESEL PERMÜTASYON

n tane elemanın,bir çember etrafındaki sıralanışlarının her birine n elemanın dairesel permütasyonu denir.

n elemandan birinin yeri sabit gibi düşünülüp diğerlerinin bu elemana göre sıralanışı göz önüne alınırsa,n elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı
(n – 1)! olur.

Örnek :

6 kişilik bir aile yuvarlak birer masada yemek yiyecektir;
a) Kaç farklı şekilde oturabilirler?
b) Anne ile baba yan yana oturmak şartı ile kaç farklı şekilde oturabilirler.

Çözüm :

a) 6 kişi yuvarlak masa etrafına 5! = 120 farklı şekilde oturabilir.
b) Anne ile baba bir kişi gibi düşünülürse aile 5 kişi olur.

5 kişi yuvarlak bir masa etrafında 4! = 24 değişik şekilde oturur.Anne ile baba kendi aralarında 2! = 2 değişik şekilde oturur.Buna göre, 6 kişilik bir aile anne ile baba yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında

4! . 2! = 24 . 2 = 48 değişik şekilde oturabilir.

Örnek :

6 kişilik bir aile bir yuvarlak masa etrafında, anne ile baba hiç yan yana olmamak koşulu ile kaç farklı biçimde oturabilirler?

Çözüm :

Önce , anne ile babanın hep yan yana oturma durumunu bulalım.Anne ile baba 1 kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak masa etrafında (5 – 1)! = 4! Biçimde sıralanır.Ancak anne ile baba kendi aralarında 2! Biçimde sıralanacağından, anne ile babanın hep yanyana olma durumu : 4! . 2! dir.Anne ile babanın hiç yanyana olmama durumu ise;

(6 - 1)! – 4! . 2! = 120 – 48 = 72 dir.







KOMBİNASYON

n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r  n ) her alt kümesine bu kümenin bir kombinasyonu denir.n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı:


Not :

Permütasyon, bir kümenin elemanlarının değişik sıralanışlarının sayısıdır.Kombinasyon ise sıra gözetmeksizin bulunabilecek alt kümelerinin sayısıdır.Demek ki permütasyonda sıra önemli , kombinasyonda ise önemli değildir.

Kombinasyon Özellikleri :

1)
2)
3)
4)
5)
6)



5




Örnek :

C( n,0) + C( n, 1) + C( n,2) = 56 ise n kaçtır?

Çözüm :

C( n,0) + C (n,1) + C ( n,2) = 56

2 + 2n + n2– n = 56

n + n – 54 = 0

(n + 9 ) ( n – 6 ) = 0  n= - 9 ve n= 6 olur.

-9  IN olduğu için alınamaz.

Örnek :

P(n,3) = 4 . C(n,4) olması için n ne olmalıdır?

Çözüm :

n.(n – 1) . ( n-2 ) = 4 . P(n,4) / 4!


n . ( n-1) . ( n-2 ) = 4 . n . ( n – 1) .( ( n – 2 ) ( n-3 )) / 4 . 3 . 2 . 1


6 = n – 3  n =9

Örnek :

C( n-1 , 2 ) + c( n-1 , 1 ) = 1 ise n nedir?
Çözüm :

(n , r) + (n , r-1) = (n +1,r) olduğundan,

( n-1,2 ) + ( n-1,1 ) = ( n,2 ) olur.

( n,2 ) = 1  n = 2 dir.Çünkü ( 2,2 ) = 1 dir.

( n-1,2 ) = ( 1,2 ) dir.Oysa birer elemanlı kümenin ikili kombinasyonu olmayacağından
Ç =  dir.

BİNOM AÇILIMI

(a . b)m = am . bm

( a )m = am dir. Fakat ( a  b)m  am  bm dir.
b bm

Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.

x,y  R , n  Z+ = 1 , 2 , 3 , ..... için (x + y)n = (n,r) . xn-r . yr dir.

Bu formüle binom açılımı denir.

( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
0 1 r n
Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.

Özellikleri :

1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.

2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.

3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.

Buna göre;
(1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.

4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim

C( n , r ) x n-r . y r dir.

5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
r n - r
sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.


6) (x + y)n açılımında (k  n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)

k = ( n + 2) – r ile bulunur.



Örnek :

( 3a + b )4 açılımını yapınız.
Çözüm :

(3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 ) b4
0 1 2 3 4
= 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4

Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.

Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.

Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.

a=b= 1 için

Örnek :

( a3 + 2 )12 açılımında terimleri “a” nın azalan kuvvetlerine göre sıralarsak ;
a2
a) Baştan 3. terim nedir?
b) Baştan 4. terimin katsayısı nedir?
c) Sondan 2. terim nedir?

Çözüm :

( I +II )n açılımında baştan “r” inci terim = In – r +1 . II r –1 ile bulunacağından ;

a) ( a3 + 2 )12 açılımında
a2
I= a3 , II = = 2 . a-2 n =12 r =3

3.terim = (12 ) (a3)10 (2 . a-2)2 = 12 . 11 .a30 . 22 .(a-4 ) = 264 . a26 olur.
2 2
b) Baştan 4. terim de r = 4 olmalı

4. terim = ( 12 ) (a3)9 (2 . a-2 )3 = 12 . 11 . 10 .a27 .23 .a-6
3 3 . 2 . 1
= 1760 a 21 olur ki burada katsayı : (1760) bulunur.

c) Sondan 2. terimin baştan sırası olan r

r = (12 + 2) – 2 = 12 olur.
12. terim = (a3)1 (2a-a )11 = 12 . a3 . 211 . a-22 = 3 . 213 .a-20 bulunur.
UYGULAMALAR

Örnek :

Spor toto oyununda 13 maçı da kesin bilmek için en az kaç kolon oynamak gerekir?

Çözüm :

Her maç için 0 , 1 , 2 olmak üzere 3 seçenek vardır.Saymanın temel ilkesine göre 13 maçıda kesin bilmek için

3 . 3 . 3 . ..............3 = 313 kolon oynamak gerekir.


13 kolon
Örnek :

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 rakamlarını kullanarak;
a) 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b) 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
c) 3 basamaklı 400 den büyük kaç çift sayı yazılabilir?
d) 4 basamaklı sayılaradan kaç tanesi 3 ile başlar ve 4 ile biter?

Çözüm :

a) Üç basamaklı sayılar abc biçimindedir.Her basamağı bir kutu ile gösterirsek her kutuya 6 rakam yazılabileceğinden bu koşulda ,

a b c
  
6 6 6 = 216 sayı yazılabilir.

b) Sayının çift sayı olması için c yerine 2 , 4 , 6 rakamlarından biri yazılmalıdır.Buna göre a için 6 , b için 6 , c için 3 seçeneğimiz olduğundan,

a b c
  
6 6 3 = 108 çift.

( 2 , 4 , 6)

c) Sayının 400 den büyük olması için a yerine 4 , 5 ,6 rakamlarından biri , çift sayı olacağına göre c yerine 2 , 4 ,6 dan iri yazılmalıdır.Buna göre istenilen koşulda ,

a b c
  
3 6 3 = 9 . 6 = 54 sayı yazılabilir.
  
( 4,5,6 ) hepsi ( 2,4,6 )
d) a b c d
   
1 6 6 1 = 36 farklı sayı yazılabilir.
   
(3) hepsi hepsi ( 2,4,6 )

Örnek :

l1 l2 l3 l4 l1  l2  l3  l4 ve
d1 d1  d2  d3  d4  d5
d2 olduğuna göre , şekilde kaç tane paralelkenar
d3 vardır?
d3
d4

Çözüm :

Bir paralelkenar oluşturmak için 2 yatay doğru ve 2 düşey doğru seçmek gerekir.
Yatay 5 doğru arasından 2 doğru ,

( 5,2 ) = 5 . 4 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
2!


Düşey 4 doğru arasından 2 doğru

(4 , 2) = 4 . 3 = 6 farklı şekilde seçilebilir.
2!

Çarpma kuralına göre,şekilde

( 5 ) . ( 4 ) = 10 .6 = 60 tane paralelkenar vardır.
2 2

Örnek :

5 matematik ve 3 kimya kitabı, matematik kitapları yan yana gelmek şartıyla aynı rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :

Matematik kitaplarının yanyana gelmesini sağlamak için 5 matematik kitabını bir kitap gibi düşünelim.Bu durumda , rafa sıralanacak kitapların sayısı 4 olur.Bu 4 kitap rafa 4! Farklı şekilde sıralanabilir.Yan yana olmakla birlikte matematik kitapları kendi aralarında 5! farklı şekilde sıralanabilir.
Çarpma kuralına göre, matematik kitapları yan yana gelmek şartıyl bu 8 kitap aynı rafa 5! . 4! farklı şekilde sıralanabilir.


Örnek :

(4! + 5! + 6! + 7! + ..... +60!) toplamının 21 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm :

21 = 3 x 7 olduğundan 7! Ve daha büyük faktöriyeller içinde 3 ve 7 çarpanı bulundurdukları için 21 ile tam bölünürler.Buna göre

4! + 5! + 6! + 7! 8!...+60!  21 864 21
k = ? - 84 41

024
24 + 120 + 720 + .... + 0 21 - 21

k = ? k = 3 olur.


Örnek :

Aralarında Burcu ve Mirkan’ın bulunduğu 7 çocuk , bir yuvarlak masa etrafında , Burcu ile Mirkan hep yan yana olmak koşulu ile kaç farklı biçimde oturabilirler?

Çözüm :

Burcu ile Mirkan hep yanyana olacağından 1 kişi kabul edelim.O halde 6 kişi yuvarlak masa etrafında ( 6-1)! = 5! =120 değişik biçimde oturabilirler.Ancak Burcu ile Mirkan da kendi arasında 2! biçimde yer değiştireceğinden 120 . 2 = 240 biçimde oturabilirler.


Örnek :

A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?


Örnek :

Tüm üçlü permütasyonlarının sayısı , P(5 ,3) = 5 . 4 . 3 = 60 dır.

5 in bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısı , P(4 , 3) = 4 . 3 . 2 =24 tür.

n bulunduğu üçlü permütasyonların sayısı , 60 – 24 = 36 bulunur.



Örnek :

 x2 - 2 )8 = açılımında;
x

a) x10 un katsayısı nedir?
b) Baştan 4. terim nedir?
c) Ortanca terim nedir?
d) Sabit terim nedir?
e) Katsayılar toplamı nedir?

Çözüm :

a) Açılımındaki ( r+1) terim

(8) (x2)9-r . (– 2 )r ( 8 ) x16 – 2r . ( –2 . 1 )r = ( 8 ) x16 – 2r (-2)r . ( x-r )
r x r x r

= (8) . x16 – 3r . (-2)r
r
x10 olabilmesi için 16 – 3r = 10  r =2

r= 2  8 . x16 – 32 . ( -2)2 = 112 . x10
2

x4 ün katsayısı 112 dir.

b) r+1 = 4  r = 3
( 8 ) ( x2)8-3 . ( - 2 )4 = 56 . x10 . ( -2)3 . x-3
3 x
= 56(-8).x7 = - 448 . x7


c) Ortanca terim baştan 5. terimdir
r +1 =5  r = 4

( 8 ) (x2)8-4 . ( -2 ) 4 =70 . x8 ( -2)4 x –4 = 70 . 16 . x4 = 1120 . x4
4 x
d) sabit terim x0 li terimdir.

( 8 ) (x2 )8-r . ( -2 )4 = ( 8 ) . x16-3r . (-2)r
r x r

16 – 3r = 0  r = 16 tam sayı çıkmadığı için bu açılımda sabit terim yoktur.
3


Örnek :

( 50 ) = ( 50 ) ise p nin alabileceği değerlerin kümesi nedir?
20 p2 – p


Çözüm :

( 50 ) = ( 50 )  p2 – p – 20 =0
20 p2 - p

( p – 5) ( p + 4 ) = 0

p = 5 ve p = -4

p2 - p = 30  p2 – p – 30 = 0

(p – 6 ( p + 5) = 0

p = 6 ve p = -5 olur.


Örnek :

Birbirine paralel P ve Q düzlemleri veriliyor.P de herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta , Q da herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta veriliyor.Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen piramit oluşturabilir?

Çözüm :

İki türlü üçgen piramit oluşturulabilir.

I ) Tepesi p ve tabanı Q da olan üçgen piramitlerin sayısı C ( 4,1 ) . C ( 5,3 ) = 40 tane

II ) Tepesi Q ve tabanı P de olan üçgen piramitlerin sayısı C( 5,1 ) . C ( 4,2 ) = 30 tanedir.

Toplam oluşan üçgen piramitlerin sayısı = 40 + 30 = 70 tanedir.